فعالیت صفحه 59 حسابان دوازدهم
نمودار تابع $f(x) = \frac{1}{x}$ را در بازه $(0, +\infty)$ در نظر بگیرید.
1. جدول زیر را کامل کنید.
| $x$ | $1$ | $2$ | $5$ | $10$ | $100$ | $10^3$ | $10^5$ | $10^6$ |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| $f(x)$ | $1$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{5}$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ |
2. اگر بخواهیم فاصله $f(x)$ تا محور $x$ها از $\frac{1}{5}$ کمتر شود، $x$ را باید حداقل از چه عددی بزرگ‌تر بگیریم؟
3. اگر بخواهیم فاصله $f(x)$ تا محور $x$ها از $\frac{1}{10}$ کمتر شود، $x$ را باید حداقل از چه عددی بزرگ‌تر در نظر بگیریم؟
4. اگر بخواهیم فاصله $f(x)$ تا محور $x$ها از $\frac{1}{100}$ کوچک‌تر شود، $x$ را باید حداقل از چه عددی بزرگ‌تر در نظر بگیریم؟
5. آیا فاصله $f(x)$ تا محور $x$ها را می‌توان به هر میزان دلخواه کاهش داد؟
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 59 حسابان دوازدهم
سلام! این فعالیت یک مقدمه کلیدی برای درک مفهوم **حد در بی‌نهایت (Limit at Infinity)** و تعریف **مجانب افقی (Horizontal Asymptote)** است. ما رفتار تابع $f(x) = \frac{1}{x}$ را زمانی که $x$ بسیار بزرگ می‌شود، بررسی می‌کنیم. 🚀
---
### 1. تکمیل جدول
وقتی $x$ در حال بزرگ شدن است، $f(x) = \frac{1}{x}$ به صفر نزدیک می‌شود.
| $x$ | $1$ | $2$ | $5$ | $\mathbf{10}$ | $\mathbf{100}$ | $\mathbf{10^3}$ | $\mathbf{10^5}$ | $\mathbf{10^6}$ |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| $f(x)$ | $1$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{5}$ | $\mathbf{\frac{1}{10}}$ | $\mathbf{\frac{1}{100}}$ | $\mathbf{10^{-3}}$ | $\mathbf{10^{-5}}$ | $\mathbf{10^{-6}}$ |
---
### 2. فاصله $f(x)$ تا محور $x$ها کمتر از $\frac{1}{5}$
فاصله $f(x)$ تا محور $x$ها همان $|f(x) - 0| = |f(x)|$ است. چون در بازه $(0, +\infty)$ هستیم، $f(x) = \frac{1}{x} > 0$، پس $|f(x)| = f(x)$.
ما می‌خواهیم: $$f(x) < \frac{1}{5}$$
$$\frac{1}{x} < \frac{1}{5}$$
چون $x$ مثبت است، می‌توانیم طرفین را معکوس کنیم و جهت نامساوی را برگردانیم:
$$x > 5$$
**پاسخ:** $x$ را باید حداقل از **5** بزرگ‌تر بگیریم. (یعنی $x \geq 5$)
---
### 3. فاصله $f(x)$ تا محور $x$ها کمتر از $\frac{1}{10}$
ما می‌خواهیم: $$f(x) < \frac{1}{10}$$
$$\frac{1}{x} < \frac{1}{10}$$
با معکوس کردن طرفین:
$$x > 10$$
**پاسخ:** $x$ را باید حداقل از **10** بزرگ‌تر بگیریم. (یعنی $x \geq 10$)
---
### 4. فاصله $f(x)$ تا محور $x$ها کوچک‌تر از $\frac{1}{100}$
ما می‌خواهیم: $$f(x) < \frac{1}{100}$$
$$\frac{1}{x} < \frac{1}{100}$$
با معکوس کردن طرفین:
$$x > 100$$
**پاسخ:** $x$ را باید حداقل از **100** بزرگ‌تر در نظر بگیریم. (یعنی $x \geq 100$)
---
### 5. آیا فاصله $f(x)$ تا محور $x$ها را می‌توان به هر میزان دلخواه کاهش داد؟
**پاسخ:** **بله.** ✅
* **توضیح:** برای هر مقدار مثبت دلخواه $\epsilon > 0$ (مثل $\frac{1}{10^6}$)، ما همیشه می‌توانیم یک $x$ به اندازه کافی بزرگ پیدا کنیم که فاصله $f(x)$ تا محور $x$ها (یعنی $f(x)$) از آن $\epsilon$ کوچک‌تر شود.
* اگر بخواهیم $f(x) < \epsilon$ باشد، کافی است $x > \frac{1}{\epsilon}$ را انتخاب کنیم.
این خاصیت نشان می‌دهد که حد تابع در بی‌نهایت (زمانی که $x$ به $+\infty$ میل می‌کند) برابر صفر است. این یعنی **محور $x$ (خط $y=0$) مجانب افقی** تابع $f(x) = \frac{1}{x}$ است.
$$\mathbf{\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0}$$
